还记得小时候的万花尺吧？这么画：

一点也不费脑筋，就可以出来这么多丰富多彩的复杂几何图形。

具体而言，可以用万花尺玩具（如图2-1所示）来绘制数学曲线。这种玩具由两个不同尺寸的塑料齿轮组成，一大一小。小的齿轮有几个孔。把钢笔或铅笔放入一个孔，然后在较大齿轮（内部有齿）内旋转里面的小齿轮，保持笔与外轮接触，可以画出无数复杂而奇妙的对称图案。

现在，在电脑里，用Python也可以这么玩了，让我们看看Python的万花尺效果吧。(不用急，程序在后哦）

$ python spiro.py

默认情况下，spiro.py程序绘制随机螺线，如图2-5所示。按S键保存绘制。

再次运行程序，这次在命令行传入参数，画出特定的螺线。

$ python spiro.py --sparams 300 100 0.9

图2-6展示了输出结果。如你所见，这段代码根据用户指定的参数绘制了一条螺线，图2-5和它不同，展示了几个随机螺线的动画。

这么神奇又好玩的万花尺，在Python里怎么玩呢？

不要走开，让我们继续下面的Python之旅。

在这个项目中，我们将用Python来创建动画，像万花尺一样绘制曲线。我们的spiro.py程序将用Python和参数方程来描述程序的万花尺齿轮的运动，并绘制曲线（我称之为螺线）。我们可以将完成的画图保存为PNG图像文件，并用命令行选项来指定参数或生成随机螺线。

在这个项目中，我们将学习如何在计算机上绘制螺线。还将学习以下几点：

• 用turtle模块创建图形；
• 使用参数方程；
• 利用数学方程来生成曲线；
• 用线段来画曲线；
• 用定时器来生成图形动画；
• 将图形保存为图像文件。

　参数方程

在本节中，你将看到用参数方程来画圆的简单例子。参数方程将曲线上点的坐标表示为一个变量的函数，该变量称为参数。参数方程让绘制曲线变得容易，因为只要将参数代入方程就能产生曲线。

注意

如果你现在不想学习这部分数学知识，可以跳到下一部分，讨论针对万花尺项目的方程。

我们开始考虑用半径 r 来描述一个圆的方程，圆心位于二维平面的原点。 x 、 y 坐标满足该方程的所有点构成了圆。

现在，请考虑下面的方程：

x = r cos( θ )

y = r sin( θ )

这些方程是圆的参数表示，其中角 θ 是参数。这些方程中（X，Y）的任何值，都满足前面描述的圆的方程，X 2 + Y 2 = R 2 。如果让 θ 从0变到2π，可以用这些方程来计算圆上对应的 x 和 y 坐标。图2-2展示了这种方案。

记住，这两个方程适用于圆心在坐标系原点的圆。将圆心转换到点( a , b )，就可以将圆置于 xy 平面的任何位置。所以更一般的参数方程就变成 x = a + r cos( θ )和 y = b + r cos( θ )。现在，让我们来看看描述螺线的方程。

万花尺方程

图2-3展示了类似万花尺运动的数学模型。该模型没有齿轮，因为玩具中的齿轮只是为了防止打滑，而在这里不必担心打滑。

在图2-3中，C是较小的圆的圆心，P是笔尖。较大的圆半径为 R ，较小的圆半径为 r 。半径之比表示如下：

将线段PC与小圆半径 r 之比作为变量l（l = PC / r ），它决定了笔尖离小圆圆心有多远。然后，组合这些变量来表示P的运动，得到如下的参数方程：

注意

这些曲线称为内旋轮线和外旋轮线。虽然方程可能看起来有点吓人，但推导是非常简单的。如果你想探索其中的数学，请参见维基百科。

图2-4展示了如何用这些方程，基于参数的变化，产生一条曲线。通过改变参数 R 、 r 和 l ，可以产生变化无穷的迷人曲线。

将曲线绘制为一系列点之间的线段。如果这些点足够接近，图看起来就像平滑的曲线。真正玩过万花尺就知道，这取决于使用的参数，万花尺可能需要许多转数来完成。要确定何时停止绘图，就要利用万花尺的周期性（即万花尺图案多久开始重复），研究内外圆的半径之比：

分子分母除以它们的最大公约数（GCD），化简该分数，分子就告诉我们需要多少圈才能完成曲线。例如，在图2-4中，( r , R )的GCD是5。

下面是该分数化简后的形式：

这告诉我们，13圈后，曲线将开始重复。44告诉我们小圆围绕其中心旋转的圈数，它提示了曲线的形状。在图2-4中数一下，会看到图形中花瓣或叶的数目恰好是44！

一旦用简化形式表示了半径比 r / R ，画出螺线的参数 θ 范围就是[0，2πr]。这告诉我们何时停止绘制特定的螺线。不知道该角度的结束范围，就会循环不止，不必要地重复该曲线。

海龟画图

我们可以用Python的turtle模块来创建图案。这是一个简单的绘图程序，模型是一只海龟拖着尾巴穿过沙滩，留下图案。turtle模块包括了一些方法，用于设置笔（海龟的尾巴）的位置和颜色，以及其他有用的绘图函数。如你所见，只要少量绘图函数，就可以创建漂亮的螺线。

例如，这个程序用turtle画圆。输入以下代码，保存为drawcircle.py，在Python中运行它：

　import math
① import turtle

　 # draw the circle using turtle
　 def drawCircleTurtle(x, y, r):
　 # move to the start of circle
② turtle.up()
③ turtle.setpos(x + r, y)
④ turtle.down()

　 # draw the circle
⑤ for i in range(0, 365, 5):
⑥ a = math.radians(i)
⑦ turtle.setpos(x + r*math.cos(a), y + r*math.sin(a))

⑧ drawCircleTurtle(100, 100, 50)
⑨ turtle.mainloop()

在①行，从导入turtle模块开始。接下来，定义drawCircleTurtle()方法，它在②行调用up()。这告诉Python提笔。换句话说，让笔离开虚拟的纸，这样移动海龟也不会画图。开始绘图之前，先定位海龟。

在③行，将海龟的位置设置为横轴上的第一个点：(x + r, y)，其中(x，y)是该圆的圆心。现在准备好画图了，所以在④行调用down()。在⑤行，利用range(0, 365, 5)开始循环，以5为步长递增变量i，从0到360，变量i是角度参数，将传入圆的参数方程，但首先在⑥行将它从度转为弧度（大多数计算机程序的角度计算需要弧度）。

在⑦行，利用前面讨论过的参数方程计算圆的坐标，并设置相应的海龟位置，这样就从海龟上一个位置画线到新计算的位置（从技术上讲，产生的是N边多边形，但因为用了很小的角度，N将非常大，多边形看起来像一个圆）。

在⑧行，调用drawCircleTurtle()来画圆，在⑨行，调用mainloop()，它保持tkinter窗口打开，让你可以欣赏你画的圆（Tkinter是Python默认的GUI库）。

现在，我们准备好画一些螺线了！

所需模块

我们将利用下面的模块创建螺线：

• turtle模块用于绘图；
• pillow，这是Python图像库（PIL）的一个分支，用于保存螺线图像。

代码

首先，定义类Sipro，来绘制这些曲线。我们会用这个类一次画一条曲线（利用draw()方法），并利用一个定时器和update()方法，产生一组随机螺线的动画。为了绘制Spiro对象并产生动画，我们将使用SpiroAnimator类。

要查看完整的项目代码，请直接跳到2.4节。

　Spiro构造函数

下面是Spiro构造函数：

　 # a class that draws a Spirograph
　 class Spiro:
　 # constructor
　 def __init__(self, xc, yc, col, R, r, l):

　 # create the turtle object
① self.t = turtle.Turtle()
　 # set the cursor shape
② self.t.shape('turtle')
　 # set the step in degrees
③ self.step = 5
　 # set the drawing complete flag
④ self.drawingComplete = False

　 # set the parameters
⑤ self.setparams(xc, yc, col, R, r, l)

　 # initialize the drawing
⑥ self.restart()

在①行，Spiro构造函数创建一个新的turtle对象，这将有助于我们同时绘制多条螺线。在②行，将光标的形状设置为海龟（在 https://docs.python.org/3.3/library/ turtle.html ，你可以在turtle文档中找到其他选项）。在③行，将参数绘图角度的增量设置为5度，在④行，设置了一个标志，将在动画中使用它，它会产生一组螺线。

在⑤和⑥行，调用设置函数，接下来讨论该函数。

设置函数

现在让我们看看getParams()方法，它帮助初始化Spiro对象，如下所示：

　 # set the parameters
　 def setparams(self, xc, yc, col, R, r, l):
　 # the Spirograph parameters
① self.xc = xc
　 self.yc = yc
② self.R = int(R)
　 self.r = int(r)
　 self.l = l
　 self.col = col
　 # reduce r/R to its smallest form by dividing with the GCD
③ gcdVal = gcd(self.r, self.R)
④ self.nRot = self.r//gcdVal
　 # get ratio of radii
　 self.k = r/float(R)
　 # set the color
　 self.t.color(*col)
　 # store the current angle
⑤ self.a = 0

在①行，保存曲线中心的坐标。然后在②行，将每个圆的半径（ R 和 r ）转换为整数并保存这些值。在③行，用Python模块fractions内置的gcd()方法来计算半径的GCD。我们将用这些信息来确定曲线的周期性，在④行将它保存为self.nRot。最后，在⑤行，保存当前的角度，我们将用它来创建动画。

restart()方法

接下来，restart()方法重置Spiro对象的绘制参数，让它准备好重画：

　 # restart the drawing
　 def restart(self):
　 # set the flag
① self.drawingComplete = False
　 # show the turtle
② self.t.showturtle()
　 # go to the first point
③ self.t.up()
④ R, k, l = self.R, self.k, self.l
　 a = 0.0
⑤ x = R*((1-k)*math.cos(a) + l*k*math.cos((1-k)*a/k))
　 y = R*((1-k)*math.sin(a) - l*k*math.sin((1-k)*a/k))
⑥ self.t.setpos(self.xc + x, self.yc + y)
⑦ self.t.down()

这里用了布尔标志drawingComplete，来确定绘图是否已经完成，在①行初始化该标志。绘制多个Spiro对象时，这个标志是有用的，因为它可以追踪某个特定的螺线是否完成。在②行，显示海龟光标，以防它被隐藏。在③行提起笔，这样就可以在⑥行移动到第一个位置而不画线。在④行，使用了一些局部变量，以保持代码紧凑。然后，在⑤行，计算角度a设为0时的 x 和 y 坐标，以获得曲线的起点。最后，在⑦行，我们已完成，并落笔。Setpos()调用将绘制实际的线。

　draw()方法

draw()方法用连续的线段绘制该曲线。

　 # draw the whole thing
　 def draw(self):
　 # draw the rest of the points
　 R, k, l = self.R, self.k, self.l
① for i in range(0, 360*self.nRot + 1, self.step):
　 a = math.radians(i)
② x = R*((1-k)*math.cos(a) + l*k*math.cos((1-k)*a/k))
　 y = R*((1-k)*math.sin(a) - l*k*math.sin((1-k)*a/k))
　 self.t.setpos(self.xc + x, self.yc + y)
　 # drawing is now done so hide the turtle cursor
③ self.t.hideturtle()

在①行，迭代遍历参数i的完整范围，它以度表示，是360乘以nRot。在②行，计算参数i的每个值对应的 X 和 Y 坐标。在③行，隐藏光标，因为我们已完成绘制。

　创建动画

update()方法展示了一段一段绘制曲线来创建动画时所使用的绘图方法。

　 # update by one step
　 def update(self):
　 # skip the rest of the steps if done
① if self.drawingComplete:
　 return
　 # increment the angle
② self.a += self.step
　 # draw a step
　 R, k, l = self.R, self.k, self.l
　 # set the angle
③ a = math.radians(self.a)
　 x= self.R*((1-k)*math.cos(a) + l*k*math.cos((1-k)*a/k))
　 y = self.R*((1-k)*math.sin(a) - l*k*math.sin((1-k)*a/k))
　 self.t.setpos(self.xc + x, self.yc + y)
　 # if drawing is complete, set the flag
④ if self.a >= 360*self.nRot:
　 self.drawingComplete = True
　 # drawing is now done so hide the turtle cursor
　 self.t.hideturtle()

在①行，update()方法检查drawingComplete标志是否设置。如果没有设置，则继续执行代码其余的部分。在②行，update()增加当前的角度。从③行开始，它计算当前角度对应的（X，Y）位置并将海龟移到那里，在这个过程中画出线段。

讨论万花尺方程时，我提到了曲线的周期性。在一定的角度后，万花尺的图案开始重复。在④行，检查角度是否达这条特定曲线计算的完整范围。如果是这样，就设置drawingComplete标志，因为绘图完成了。最后，隐藏海龟光标，你可以看到自己美丽的创作。

SpiroAnimator类

SpiroAnimator类让我们同时绘制随机的螺线。该类使用一个计时器，每次绘制曲线的一段。这种技术定期更新图像，并允许程序处理事件，如按键、鼠标点击，等等。但是，这种计时器技术需要对绘制代码进行一些调整。

　 # a class for animating Spirographs
　 class SpiroAnimator:
　 # constructor
　 def __init__(self, N):
　 # set the timer value in milliseconds
① self.deltaT = 10
　 # get the window dimensions
② self.width = turtle.window_width()
　 self.height = turtle.window_height()
　 # create the Spiro objects
③ self.spiros = []
　 for i in range(N):
　 # generate random parameters
④ rparams = self.genRandomParams()
　 # set the spiro parameters
⑤ spiro = Spiro(*rparams)
　 self.spiros.append(spiro)
　 # call timer
⑥ turtle.ontimer(self.update, self.deltaT)

在①行，该SpiroAnimator构造函数将DeltaT设置为10，这是以毫秒为单位的时间间隔，将用于定时器。在②行，保存海龟窗口的尺寸。然后在③行创建一个空数组，其中将填入一些Spiro对象。这些封装的万花尺绘制，然后循环N次（N传入给构造函数SpiroAnimator），在⑤行创建一个新的Spiro对象，并将它添加到Spiro对象的列表中。这里的rparams是一个元组，需要传入到Spiro构造函数。但是，构造函数需要一个参数列表，所以用Python的*运算符将元组转换为参数列表。

最后，在⑥行，设置turtle.ontimer()方法每隔DeltaT毫秒调用update()。

请注意，在④行调用了一个辅助方法，名为genRandomParams()。接下来就看看这个方法。

genRandomParams()方法

我们用genRandomParams()方法来生成随机参数，在每个Spiro对象创建时发送给它，来生成各种曲线。

　 # generate random parameters
　 def genRandomParams(self):
　 width, height = self.width, self.height
① R = random.randint(50, min(width, height)//2)
② r = random.randint(10, 9*R//10)
③ l = random.uniform(0.1, 0.9)
④ xc = random.randint(-width//2, width//2)
⑤ yc = random.randint(-height//2, height//2)
⑥ col = (random.random(),
　 random.random(),
　 random.random())
⑦ return (xc, yc, col, R, r, l)

为了生成随机数，利用来自Python的random模块的两个方法：randint()，它返回指定范围内的随机整数，以及uniform()，它对浮点数做同样的事。在①行，将R设置为50至窗口短边一半长度的随机整数，在②行，将r设置为R的10%至90%之间。

然后，在③行，将l设置为0.1至0.9之间的随机小数。在④和⑤行，在屏幕边界内随机选择 x 和 y 坐标，选择屏幕上的一个随机点作为螺线的中心。在⑥行随机设置为红、绿和蓝颜色的成分，为曲线指定随机的颜色。最后，在⑦行，所有计算的参数作为一个元组返回。

　重新启动程序

我们将用另一个restart()方法来重新启动程序。

# restart spiro drawing
 def restart(self):
 for spiro in self.spiros:
 # clear
 spiro.clear()
 # generate random parameters
 rparams = self.genRandomParams()
 # set the spiro parameters
 spiro.setparams(*rparams)
 # restart drawing
 spiro.restart()

它遍历所有的Spiro对象，清除以前绘制的每条螺线，分配新的螺线参数，然后重新启动程序。

　update()方法

下面的代码展示了SproAnimator中的update()方法，它由定时器调用，以动画的形式更新所有的Spiro对象：

　 def update(self):
　 # update all spiros
① nComplete = 0
　 for spiro in self.spiros:
　 # update
② spiro.update()
　 # count completed spiros
③ if spiro.drawingComplete:
　 nComplete += 1
　 # restart if all spiros are complete
④ if nComplete == len(self.spiros):
　 self.restart()
　 # call the timer
⑤ turtle.ontimer(self.update, self.deltaT)

update()方法使用一个计数器nComplete来记录已画的Spiro对象的数目。在①行初始化后，它遍历Spiro对象的列表，在②行更新它们，如果一个Spiro完成，就在③行将计数器加1。

在循环外的④行，检查计数器，看看是否所有对象都已画完。如果已画完，调用restart()方法重新开始新的螺线动画。在⑤行restart()的末尾，调用计时器方法，它在DeltaT毫秒后再次调用update()。

显示或隐藏光标

最后，使用下面的方法来打开或关闭海龟光标。这可以让绘图更快。

 # toggle turtle cursor on and off
 def toggleTurtles(self):
 for spiro in self.spiros:
 if spiro.t.isvisible():
 spiro.t.hideturtle()
 else:
 spiro.t.showturtle()

　保存曲线

使用saveDrawing()方法，将绘制保存为PNG图像文件。

　 # save drawings as PNG files
　 def saveDrawing():
　 # hide the turtle cursor
① turtle.hideturtle()
　 # generate unique filenames
② dateStr = (datetime.now()).strftime("%d%b%Y-%H%M%S")
　 fileName = 'spiro-' + dateStr
　 print('saving drawing to %s.eps/png' % fileName)
　 # get the tkinter canvas
③ canvas = turtle.getcanvas()
　 # save the drawing as a postscipt image
④ canvas.postscript(file = fileName + '.eps')
　 # use the Pillow module to convert the postscript image file to PNG
⑤ img = Image.open(fileName + '.eps')
⑥ img.save(fileName + '.png', 'png')
　 # show the turtle cursor
⑦ turtle.showturtle()

在①行，隐藏海龟光标，这样就不会在最后的图形中看到它。然后，在②行，使用datetime()，利用当前时间和日期（以“日—月—年—时—分—秒”的格式），以生成图像文件的唯一名称。将这个字符串加在spiro-后面，生成文件名。

turtle程序采用tkinter创建的用户界面（UI）窗口，在③和④行，利用tkinter的canvas对象，将窗口保存为嵌入式PostScript（EPS）文件格式。由于EPS是矢量格式，你可以用高分辨率打印它，但PNG用途更广，所以在⑤行用Pillow打开EPS文件，并在⑥行将它保存为PNG文件。最后，在⑦行，取消隐藏海龟光标。

解析命令行参数和初始化

像第1章中一样，在main()方法中用argparse来解析传入程序的命令行选项。

① parser = argparse.ArgumentParser(description=descStr)

　 # add expected arguments
② parser.add_argument('--sparams', nargs=3, dest='sparams', required=False,
　 help="The three arguments in sparams: R, r, l.")

　 # parse args
③ args = parser.parse_args()

在①行，创建参数解析器对象，在②行，向解析器添加--sparams可选参数。在③行，调用函数进行实际的解析。

接下来，代码设置了一些turtle参数。

　 # set the width of the drawing window to 80 percent of the screen width
① turtle.setup(width=0.8)

　 # set the cursor shape to turtle
② turtle.shape('turtle')

　 # set the title to Spirographs!
③ turtle.title("Spirographs!")
　 # add the key handler to save our drawings
④ turtle.onkey(saveDrawing, "s")
　 # start listening
⑤ turtle.listen()

　 # hide the main turtle cursor
⑥ turtle.hideturtle()

在①行，用setup()将绘图窗口的宽度设置为80％的屏幕宽度（你也可以给setup指定高度和原点参数）。在②行，设置光标形状为海龟，在③行，设置程序窗口的标题为Spirographs！，在④行，利用onkey()和saveDrawing，在按下S时保存图画。然后，在⑤行，调用listen()让窗口监听用户事件。最后，在⑥行，隐藏海龟光标。

命令行参数解析后，代码的其余部分进行如下：

　 # check for any arguments sent to --sparams and draw the Spirograph
① if args.sparams:
② params = [float(x) for x in args.sparams]
　 # draw the Spirograph with the given parameters
　 col = (0.0, 0.0, 0.0)
③ spiro = Spiro(0, 0, col, *params)
④ spiro.draw()
　 else:
　 # create the animator object
⑤ spiroAnim = SpiroAnimator(4)
　 # add a key handler to toggle the turtle cursor
⑥ turtle.onkey(spiroAnim.toggleTurtles, "t")
　 # add a key handler to restart the animation
⑦ turtle.onkey(spiroAnim.restart, "space")

 # start the turtle main loop
⑧ turtle.mainloop()

在①行，首先检查是否有参数赋给--sparams。如果有，就从字符串中提取它们，用“列表解析”将它们转换成浮点数②（列表解析是一种Python结构，让你以紧凑而强大的方式创建一个列表，例如，a = [2*x for x in range(1, 5)]创建前4个偶数的列表）。

在③行，利用任何提取的参数来构造Spiro对象（利用Python的*运算符，它将列表转换为参数）。然后，在④行，调用draw()，绘制螺线。

现在，如果命令行上没有指定参数，就进入随机模式。在⑤行，创建一个SpiroAnimator对象，向它传入参数4，告诉它创建4幅图画。在⑥行，利用onkey()来捕捉按键T，这样就可以用它来切换海龟光标（toggleTurtles），在⑦行，处理空格键（space），这样就可以用它在任何时候重新启动动画。最后，在⑧行，调用mainloop()告诉tkinter窗口保持打开，监听事件。

完整代码

可以从公众号pythondada输入万花尺索取完成代码。